Question

【題目】

(1)（操作發現）

如圖①，將△ABC繞點A順時針旋轉60°，得到△ADE,連接BD，則∠ABD=____度；

(2)（類比探究）

如圖②，在等邊三角形ABC內任取一點P，連接PA，PB，PC，求證：以PA，PB，PC的長為三邊必能組成三角形：

(3)（解決問題）

如圖③，在邊長為的等邊三角形ABC內有一點P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積;

(4)（拓展應用）

圖④是A，B，C三個村子位置的平面圖，經測量AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P為△ABC內的一個動點，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）60，理由見解析；（2）見解析；（3） ；（4）

【解析】

（1）【操作發現】：如圖1中，只要證明△DAB是等邊三角形即可；
（2）【類比探究】：如圖2中，以PA為邊長作等邊△PAD，使P、D分別在AC的兩側，連接CD．利用全等三角形的性質以及三角形的三邊關系即可解決問題；
（3）【解決問題】：如圖3中，將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，只要證明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可解決問題；
（4）【拓展應用】：如圖4中，先由旋轉的性質得出△APC≌△EDC，則∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，∠PCD=60°，再證明∠BCE=90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的長度，即為PA+PB+PC的最小值；

（1）【操作發現】60.

理由：∵△ABC繞點A順時針旋轉60°，得到△ADE,∴AD=AB，∠DAB=60°，∴△DAB是等邊三角形，∴∠ABD=60°.

(2)【類比探究】證明：如圖，以PA為邊長作等邊△PAD，使 P，D分別在，AC的兩側，連接CD.

∵∠BAC=∠PAD=60°

∴∠BAP=∠CAD.

∵AB=AC，AP=AD,

∴△PAB≌△DAC(SAS)，

∴BP=CD.

在△PCD中，∵PD+CD＞PC.

又∵AP=PD，

∴AP+BP＞PC.

∴以PA，PB，PC的長為三邊必能組成三角形．

(3)【解決問題】如圖，將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C，

∴∠AP′C=∠APB=360°-90°-120°=150°，

AP=AP′，∠PAP′= 60∴△APP′是等邊三角形，

∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,

∴∠PP′C=150°-60°=90°, ∠P′PC=∠APC-∠APP′=30°，

∴PP′=,即AP=．

∵∠APC=90°,AC=，

∴AP +PC =AC，即，

∴PC=2（舍負），∴AP=，∴.

(4)【拓展應用】如圖，將△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△EDC,連接PD,BE.

∵將△APC繞點C順時針旋轉60°得到△EDC,

∴△APC≌△EDC,∠PCD=60°

∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=4,

∴∠ACB=∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB=30°，

∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°.

在Rt△BCE中，∵BC=5,CE=4，

∴，

當P,D在BE上時,PA+PB+PC=BE，此時PA+PB+PC取最小值，為.