Question

【題目】已知，拋物線y＝-x2 +bx+c交y軸于點C（0,2），經過點Q（2,2）.直線y＝x+4分別交x軸、y軸于點B、A.

（1）直接填寫拋物線的解析式________；

（2）如圖1，點P為拋物線上一動點（不與點C重合），PO交拋物線于M，PC交AB于N，連MN.

求證：MN∥y軸；

（3）如圖,2，過點A的直線交拋物線于D、E，QD、QE分別交y軸于G、H.求證：CG CH為定值.

Answer 1

【答案】y=-x2+x+2

【解析】分析：（1）把點C、D代入y＝-x2 +bx+c求解即可.

（2）分別設PM、PC的解析式，由于PM、PC與拋物線的交點分別為：M、N.，分別求出M、N的代數式即可求解.

（3）先設G、H的坐標，列出QG、GH的解析式，得出與拋物線的交點D、E的橫坐標，再列出直線AE的解析式，算出它與拋物線橫坐標的交點方程.運用韋達定理即可求證.

詳解：（1）∵y＝-x2 +bx+c過點C（0,2），點Q（2,2），

∴,解得：.

∴y=-x2+x+2；

（2） 設PM：y=mx，PC：y=kx+2.由 得x2+（k-1）x=0,

xp=.由 得x2+(m-i)x-2=0，xpxm=-4，∴xm==.

由得xN==xM, ∴MN∥y軸.

（3）設G（0，m）,H（0，n）.

得QG：y=x+m，QH：y=x+n.

由 得xD=m-2. 同理得xE=n-2.

設AE：y=kx+4，由，得x2-(k-i)x+2=0.

∴xDxE=4，即（m-2）（n-2）=4.

∴CGCH=（2-m）（2-n）=4.