Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A(4，﹣5)．

（1）如圖，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為B、C，得到矩形ABOC，且拋物線經過點C．

①求拋物線的解析式．

②將拋物線沿直線x＝m（2＞m＞0）翻折，分別交線段OB、AC于D，E兩點．若直線DE剛好平分矩形ABOC的面積，求m的值．

（2）將拋物線旋轉180°，使點A的對應點為A1(m﹣2，n﹣4)，其中m≤2．若旋轉后的拋物線仍然經過點A，求旋轉后的拋物線頂點所能達到最低點時的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣4x﹣5，②；（2）(2，﹣1)

【解析】

（1）①由矩形的性質確定點C的坐標，將點C、A的坐標代入y＝x2+bx+c即可求出拋物線的解析式；

②求出拋物線y＝x2﹣4x﹣5的對稱軸，求出翻折后的拋物線的對稱軸，可寫出翻折后的解析式，求出D，E兩點坐標，因為直線DE剛好平分矩形ABOC的面積，則必過矩形對角線的交點Q(2，﹣)，則可列出關于m的方程，即可求出m的值；

（2）由點A、A1的坐標可求出旋轉中心的坐標，進一步推出原頂點的對稱點，可寫出旋轉后的拋物線解析式，因為旋轉后的拋物線仍然經過點A，將點A的坐標代入旋轉后的解析式，可得關于m、n的等式，將m＝2代入，可求出n的值，即可寫出旋轉后的拋物線頂點所能達到最低點時的坐標．

解：（1）①∵點A(4，﹣5)，且四邊形ABOC為矩形，

∴C(0，﹣5)，

∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣5，

將點A(4，﹣5)代入y＝x2+bx﹣5，

得，b＝﹣4，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；

②在拋物線y＝x2﹣4x﹣5中，

對稱軸為直線x＝﹣＝2，

∵拋物線y＝x2﹣4x﹣5沿直線x＝m(2＞m＞0)翻折，

∴設翻折后的拋物線對稱軸為直線x＝n，

∴=m，

∴n＝2m﹣2，

∴翻折后的拋物線為y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9，

在y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9中，當y＝0時，x1＝2m+1，x2＝2m﹣5；當y＝﹣5時，x1＝2m，x2＝2m﹣4；

∵如下圖，拋物線y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9分別交線段OB、AC于D，E兩點，

∴D(2m+1，0)，E(2m，﹣5)，

∵直線DE剛好平分矩形ABOC的面積，

∴必過矩形對角線的交點Q(2，﹣)，

即＝2，

∴m＝；

（2）∵將拋物線旋轉180°，使點A的對應點為A1(m﹣2，n﹣4)，其中m≤2，

∵A(4，﹣5)，

∴旋轉中心為(，)，

∴原頂點的對稱點為(m，n)，

∴旋轉后的拋物線為y＝﹣(x﹣m)2+n，

∵旋轉后的拋物線仍然經過點A，

∴﹣5＝﹣(4﹣m)2+n，

∵m≤2，

∴當m＝2時，n＝﹣1，

∵旋轉后拋物線開口向下，

∴旋轉后的拋物線頂點所能達到最低點時的坐標(2，﹣1)．