Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E．
（1）求證：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的長；
（3）求證：BE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），

∴∠BCA=∠BAD

（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，

∴ = ，即 = ，

解得：DE=

（3）證明：連結OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴BE是⊙O的切線．

【解析】（1）根據BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結論；（2）判斷△BED∽△CBA，利用對應邊成比例的性質可求出DE的長度．（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷BE⊥OB，可得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，還要掌握切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)的相關知識才是答題的關鍵．