Question

【題目】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，P、Q是對角線BD上不重合的兩點，點P關于直線AD，AB的對稱點分別點E，F，點Q關于直線BC，CD的對稱點分別是點G、H．若由點E，F，G，H構成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長為_____．

Answer 1

【答案】5.6

【解析】

根據軸對稱求出AE=AF=AP，求出A、B、C、D都在菱形EFGH的邊上，求出OA=AP=5，根據勾股定理求出ON，求出OP、OQ，即可得出答案．

矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，由勾股定理得：AC＝BD＝10，

如圖，

根據軸對稱性質得：∠PAF+∠PAE＝90°+90°＝180°，

即A在菱形EFGH的邊EF上，

同理B、C、D都在菱形EFGH的邊上，

∵AP＝AF＝AE，即A為EF的中點，

同理C為GH的中點，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴AF＝CG，AF∥CG，

∴四邊形AFGC是平行四邊形，

∴FG＝AC＝10，

∵AE＝AF＝AP，

∴AP＝5，

∵AO＝AC＝5，

∴AO＝AP，

∴△APO是等腰三角形，

過A作AN⊥BD于N，

則N為OP的中點，

在Rt△DAB中，由三角形的面積公式得：AN×AB＝×AD×AB，

∴AN＝4.8，

由勾股定理得：ON＝＝1.4，

則OP＝2.8，

同理OQ＝2.8，

所以PQ＝2.8+2.8＝5.6，

故答案為：5.6