Question

【題目】已知AB=5，AD=4，AD∥BM， （如圖），點C、E分別為射線BM上的動點（點C、E都不與點B重合），聯結AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射線EA交射線CD于點F．設BC=x， ．

（1）如圖1，當x=4時，求AF的長；

（2）當點E在點C的右側時，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（3）聯結BD交AE于點P，若△ADP是等腰三角形，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或．

【解析】分析：作AH⊥BC于H，如圖1，利用余弦的定義和勾股定理計算出BH=3，AH=4，AC=，再判斷四邊形ABCD為平行四邊形得到∠B=∠D，接下來證明△ADF∽△ABC，然后利用相似比計算出AC；（2）如圖2，先證明△BAC∽△BEA,利用相似比得到BE=,AC= ,則CE= ，再證明△ADF∽EFC,利用相似比得到AF= ,然后計算AF·AC可得到y與x的關系式，最后利用CE= >0可確定x的范圍;(3)討論：當PA=PD時，作AH⊥BM于H，作PG⊥AD于G交BE于N，如圖3，利用等腰三角形性質得AG=GD=2，BN=EN=BE= ，則=5，解方程易得x的值；當AP=AD=4時，先判斷BP=EP=，則AE=4+,然后在RT△AHE中利用勾股定理得，則解方程可得到x的值；當DP=DA=4時，作AH⊥BM于H,作DK⊥BE于K,如圖4，先確定BP=EB=,則BD=4+,再利用勾股定理計算出BD=,則4+=，然后解方程可得到x的值.

本題解析：（1）作A⊥BC于H如圖，

在RT△ABH中，∵cosB=,

∴BH=,∴CH=1,AH=,在RT△ACH中，AC=,
∵AD∥BC，AD=BC=4，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B=∠D, ∵∠DAF=∠BAC, ∴△ADF∽△ABC, ∴,即,∴AF=.

(2)如圖，

∵AD∥BE, ∴∠DAE=∠AEB,而∠DAE=∠BAC, ∴∠ABC=∠EBA, ∴△BAC∽△BEA, ∴,即,∴BE=,AC= ,∴CE=BE-BC=-x, ∵AD∥CE, ∴△ADF∽△EFC, ∴ , ∴ ,即AF= , ∴ ，即y=;

(3)當PA=PD時，作作AH⊥BM于H，作PG⊥AD于G交BE于N，如圖，

∵AD∥BE, ∴GN⊥BE, ∴AG=DG=2，BN=EN=BE=,而BN=BH+CN=3+2=5,

∴=5,解得x=;當AP=AD=4時，∵AD∥BE, ∴BP=EP=,
在Rt△AHE中， ,∴，解得x= ;

當DP=DA=4時，作AH⊥BM于H,作DK⊥BE于K，如圖4，∵AD∥BE, ∴BP=EP=,

∴BD=4+,在RT△BDK中，BD=,∴4+=,∴x= ,綜上所述，x的值為或或.