Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經過原點O及點A（﹣4，0）和點C（2，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）如圖1，設拋物線的對稱軸與x軸交于點E，將直線y=2x沿y軸向下平移n個單位后得到直線l，若直線l經過C點，與y軸交于點D，且與拋物線的對稱軸交于點F．若P是拋物線上一點，且PC=PF，求點P的坐標；

（3）如圖2，將（1）中所求拋物線向上平移4個單位得到新拋物線，求新拋物線上到直線CD距離最短的點的坐標．（直接寫出結果，不要解答過程）

Answer 1

【答案】(1) y=x2+x, 頂點坐標為（﹣2，﹣1）；(2) （﹣3+，）或（﹣3﹣，）；

(3) （2，7）．

【解析】分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點極坐標；

（2）根據待定系數法，可得直線l的解析式，根據中點坐標公式，可得D是CF的中點，根據勾股定理，可得EF，EC，根據線段垂直平分線的性質，可得ED是線段CF直平分線，根據解方程組，可得P點坐標；

（3）根據平移，可得新拋物線，根據平行于直線與拋物線相切的點到直線的距離最短，可得切線，根據解方程組，可得答案．

詳解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過原點O及點A（-4，0）和點C（2，3），

∴，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=x2+x；

∵y=x2+x=（x+2）2-1，

∴拋物線的頂點坐標為（-2，-1）；

（2）如圖1：

直線l的解析式為y=2x-n，

∵直線l過點C（2，3），

∴n=1，

∴直線l的解析式為y=2x-1，當x=0時，y=-1，即D（0，-1）．

∵拋物線的對稱軸為x=-2，

∴E（-2，0）．

當x=-2時，y=2x-1=-5，即F（-2，-5），

∴CD=DF=2，

∴點D是線段CF的中點，

∵C（2，3），

∴EF=EC=5，

∴ED垂直平分CF．

∴PC=PF，

∴點P在CF的垂直平分線上，

∴點P是拋物線與直線ED的交點．

ED的解析式為y=-x-1．

聯立拋物線與ED，得

，

解得，，

點P的坐標（-3+，）或（-3-，）；

（3）如圖2：

移后的拋物線為y=x2+x+4

平行于CD與物線相切的直線為y=2x+b，

聯立，得x2+x+4=2x+b

方程有相等二實根，得

△=b2-4ac=（-1）2-4×（4-b）=0

解得b=3．

x2-x+1=0，

解得x=2，y=2x+3=7，

新拋物線上到直線CD距離最短的點的坐標是（2，7）．