Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)．以D為頂點的拋物線y＝ax2+bx+c過點B．動點P從點D出發，沿DC邊向點C運動，同時動點Q從點B出發，沿BA邊向點A運動，點P、Q運動的速度均為每秒1個單位，運動的時間為t秒．過點P作PE⊥CD交BD于點E，過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當t為何值時，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

(3)動點P、Q運動過程中，是否存在某一時刻，使△PQF是等腰三角形？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)當t＝2時，S有最大值為2；(3)存在，t＝或或2．

【解析】

(1)先求出點D的坐標，設頂點式，代入點B的坐標即可求出拋物線的解析式．

(2)根據動點的運動速度，分別表示出EG、BQ、AF、EP的長度，表示S，配方求最值即可．

(3)分別表示點P、Q、F的坐標，用兩點間距離公式表示線段長度，分三種情況討論即可．

解：(1)∵A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)，

∴D(﹣1，4)，

∴設拋物線的解析式為y＝a(x+1)2+4，代入點B，

0＝a(﹣3+1)2+4，

解得a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．

(2)由題意可知，DP＝BQ＝t，

∵tan∠BDC＝，

∴EP＝t，

∴G的橫坐標為﹣1﹣t，

∴G(﹣1﹣t，4﹣)，

∴EG＝t﹣，

S△DGE＝(t﹣)＝﹣，

SQBEG＝(t﹣+t)(2﹣)＝，

∴S＝2t﹣ ＝﹣(t﹣2)2+2，

∵﹣＜0，

∴當t＝2時，S有最大值為2．

(3)∵P(﹣1，4﹣t)，Q(﹣3，t)，F(﹣1﹣，4)，

∴PQ＝，PF＝，QF＝，

①PQ＝PF，

，

解得t1＝4(舍)，t2＝；

②PQ＝QF，

，

解得t1＝0(舍)，t2＝；

③PF＝QF，

，

解得t＝2．

綜上所述：t＝或或2．