Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝5，對角線AC⊥AB．點P從點D出發，沿折線DC﹣CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動（不與點B、D重合），過點P作PE⊥AB，交射線BA于點E，連結BP．設點P的運動時間為t（秒），△BPE的面積為S（平方單位）．

（1）AD與BC間的距離是　 　．

（2）當點P在BC上時，求PE的長（用含t的代數式表示）．

（3）求S與t之間的函數關系式．

（4）直接寫出PE將平行四邊形ABCD的面積分成1：7兩部分時t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）t的值為或

【解析】

（1）過點A作AF⊥BC，垂足為F，在三角形ABC中依據勾股定理可求得AC的長，然后依據三角形的面積公式可求得AF的長，從而得到AD與BC之間的距離；

（2）由題意得出3＜t＜8，如圖2所示；由題意可知PE∥AC，從而得到△BPE∽△BCA，由相似三角形的性質可知：，從而可求解；
（3）分0＜t≤3時和3＜t＜8時兩種情況，再根據相似三角形的性質進行解答即可；
（4）分0＜t≤3時和3＜t＜8時兩種情況，再根據PE將ABCD的面積分成1：7的兩部分進行解答即可．

（1）過A作AF⊥BC于F點，如圖1：

∵AC⊥AB，AB=3，BC=5，
∴AC= ，
∴△ACB的面積=AC×AB=BC×AF，
解得：AF=，

∴AD與BC間的距離等于．
故答案為：；
（2）∵AC⊥AB，
∴AC=，
當點P在BC上時，3＜t＜8，如圖2：

∵PE⊥AB，AC⊥AB，
∴PE∥AC，
∴△BPE∽△BCA，
∴，即，
解得：PE=；
（3）∵邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD=3，AD∥BC，AD=BC=5，
∵AC⊥AB，PE⊥AB，
∴AC∥PE，
①當0＜t≤3時，
設PE與AD的交點為F，如圖3：

則四邊形ACPE是平行四邊形，
∴PE=AC=4，AE=PC=CD-PD=3-t，
∴BE=AB+AE=3+3-t=6-t，
∴S=BE×PE=×（6-t）×4=12-2t，
即S與t之間的函數關系式為S=12-2t；
②當3＜t＜8時，如圖4：
延長DC、EP交于點G，

則DG⊥EG，四邊形AEGC是平行四邊形，
∴GE=AC=4，AE=CG，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠PCG，
∵∠BAC=∠PGC，
∴△CPG∽△BCA，
∴ ，即，
解得：CG=，PG=，
∴AE=CG=，PE=EG-PG=4-=，
∴BE=AB-AE=3-= ，
∴S=BE×PE=×= ，
即S與t之間的函數關系式為S=；

綜上所述，
（4）PE將ABCD的面積分成1：7的兩部分，ABCD的面積=AB×AC=3×4=12，
①當0＜t≤3時，如圖2所示：
∵AC⊥AB，PE⊥AB，
∴PF∥AC，
∴△DPF∽△DCA，
∴ ，即，
解得：PF=，
∴△PDF的面積=PD×PF=t2；
∴，
解得：t=（負值舍去）；
②當3＜t＜8時，如圖4所示：
S=，
解得：t=，或t=（不符合題意，舍去）．
綜上所述，PE將平行四邊形ABCD的面積分成1：7兩部分時t的值為或．