Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，且當x＝﹣1和x＝3時，y值相等．直線y＝與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M．

(1)求這條拋物線的表達式．

(2)動點P從原點O出發，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點立即停止運動，設運動時間為t秒．

①求t的取值范圍．

②若使△BPQ為直角三角形，請求出符合條件的t值；

③t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？直接寫出答案．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②t的值為或，③當t＝2時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是．

【解析】

（1）求出對稱軸，再求出y=與拋物線的兩個交點坐標，將其代入拋物線的頂點式即可；

（2）①先求出A、B、C的坐標，寫出OB、OC的長度，再求出BC的長度，由運動速度即可求出t的取值范圍；

②當△BPQ為直角三角形時，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況，分別證△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO，即可求出t的值；

③如圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，證△BHQ∽△BOC，求出HQ的長，由公式S四邊形ACQP=S△ABC-S△BPQ可求出含t的四邊形ACQP的面積，通過二次函數的圖象及性質可寫出結論．

解：（1）∵在拋物線中，當x＝﹣1和x＝3時，y值相等，

∴對稱軸為x＝1，

∵y＝與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M，

∴頂點M（1，），另一交點為（6，6），

∴可設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2，

將點（6，6）代入y＝a（x﹣1）2，

得6＝a（6﹣1）2，

∴a＝，

∴拋物線的解析式為

（2）①在中，當y＝0時，x1＝﹣2，x2＝4；當x＝0時，y＝﹣3，

∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3），

∴在Rt△OCB中，OB＝4，OC＝3，

∴BC＝＝5，

∴，

∵＜4，

∴

②當△BPQ為直角三角形時，只存在∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°兩種情況，

當∠BPQ＝90°時，∠BPQ＝∠BOC＝90°，

∴PQ∥OC，

∴△BPQ∽△BOC，

∴，即，

∴t＝；

當∠PQB＝90°時，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，

∴△BPQ∽△BCO，

∴，即，

∴t＝，

綜上所述，t的值為或；

③如右圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，

則∠BHQ＝∠BOC＝90°，

∴HQ∥OC，

∴△BHQ∽△BOC，

∴，即，

∴HQ＝，

∴S四邊形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ

＝×6×3﹣（4﹣t）×t

＝（t﹣2）2+，

∵＞0，

∴當t＝2時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是．