Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線（m＞0）與x軸的交點為A，B．

（1）求拋物線的頂點坐標；

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．

①當m＝1時，求線段AB上整點的個數；

②若拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）恰有6個整點，結合函數的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，-1）；（2）①3；②．

【解析】

試題分析：（1）將拋物線表達式變為頂點式，即可得到頂點坐標；

（2）①m=1時，拋物線表達式為，即可得到A、B的坐標，可得到線段AB上的整點個數；

②拋物線頂點為（1，-1），則由線段AB之間的部分及線段AB所圍成的區域的整點的縱坐標只能為-1或者0，所以即要求AB線段上（含AB兩點）必須有5個整點；令y=0，則，解方程可得到A、B兩點坐標分別為（，0），（，0），即5個整點是以（1，0）為中心向兩側分散，進而得到，即可得到結論．

試題解析：（1）將拋物線表達式變為頂點式，則拋物線頂點坐標為（1，-1）；

（2）①m=1時，拋物線表達式為，因此A、B的坐標分別為（0，0）和（2，0），則線段AB上的整點有（0，0），（1，0），（2，0）共3個；

②拋物線頂點為（1，-1），則由線段AB之間的部分及線段AB所圍成的區域的整點的縱坐標只能為-1或者0，所以即要求AB線段上（含AB兩點）必須有5個整點；又有拋物線表達式，令y=0，則，得到A、B兩點坐標分別為（，0），（，0），即5個整點是以（1，0）為中心向兩側分散，進而得到，∴．