Question

【題目】如圖，拋物線經過點，兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，設點的橫坐標為．連接，，，．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）的面積何時最大？求出此時點的坐標和最大面積；

（3）在（2）的條件下，若點是軸上一動點，點是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D點坐標為（1，3），面積的最大值為；（3）存在，點N的坐標為：（0，3）或（，-3）或（，-3）．

【解析】

（1）令，求出y的值，進而得到C點的坐標，然后將拋物線設成交點式，然后將C點代入即可求出拋物線的解析式；

（2）先通過待定系數法求出直線BC的解析式，然后過點D作y軸的平行線交直線BC與點H，設點D（m，），則點H（m，m+3），求出DH的長度，然后利用和二次函數的性質求出m的值和面積的最大值，進而即可求出D點的坐標；

（3）分兩種情況：①當BD是平行四邊形的一條邊時，利用平行四邊形的性質可知N的縱坐標的絕對值為3，然后利用拋物線的解析式即可求出橫坐標；②當BD是平行四邊形的對角線時，利用對角線中點的坐標即可求出N點的縱坐標，進而利用拋物線的解析式即可求出橫坐標．

解：（1）令，，

∴．

∵，，

設拋物線交點式表達式為：y=a（x+1）（x-2），

將代入得-2a=3，解得：a=，

故拋物線的表達式為：；

（2）設直線BC的解析式為

將代入解析式中得

解得

∴直線BC的表達式為：，

如圖所示，過點D作y軸的平行線交直線BC與點H，

設點D（m，），則點H（m，m+3）

∴

∴

=

=，

∴m=1，面積最大，最大為，

當 時，，

∴D點的坐標為（1，3）；

（3）m=1時，D點為（1，3），

①當BD是平行四邊形的一條邊時，

設點N（n，）

則點N的縱坐標的絕對值為3，

即，

解得：n=0或1（舍去）或，

故點N的坐標為（0，3）或（，-3）或（，-3），

②當BD是平行四邊形的對角線時，

利用平行四邊形對角線的中點可知N點的縱坐標為3，

∴此時N的坐標為（0，3）；

故點N的坐標為：（0，3）或（，-3）或（，-3）．