Question

【題目】發現來源于探究．小亮進行數學探究活動，作邊長為a的正方形ABCD和邊長為b的正方形AEFG（a>b），開始時，點E在AB上，如圖1．將正方形AEFG繞點A逆時針方向旋轉．

（1）如圖2，小亮將正方形AEFG繞點A逆時針方向旋轉，連接BE、DG，當點G恰好落在線段BE上時，小亮發現DG⊥BE，請你幫他說明理由．當a=3，b=2時，請你幫他求此時DG的長．

（2）如圖3，小亮旋轉正方形AEFG，點E在DA的延長線上，連接BF、DF．當FG平分∠BFD時，請你幫他求a：b及∠FBG的度數．

（3）如圖4，BE的延長線與直線DG相交于點P，a=2b．當正方形AEFG繞點A從圖1開始，逆時針方向旋轉一周時，請你幫小亮求點P運動的路線長（用含b的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）DG＝；（2）a∶b=，∠FBG=67.5°；（3）

【解析】

(1)如圖2中,連接AF交BE于H,設DG交AB于O.由△DAG△BAE，推出∠ADO=∠GBO，DG= BE，由∠AOD=∠BOG 推出∠DAO=∠BGO= 90°，推出DG⊥BE，在Rt△AHE中，可得AH= EH=，在Rt△AHB中，可得BH= ，由此即可解決問題；

(2)如圖3中，連接AF，由tan∠BFG= =tan∠GFD=tan∠FDE= 可得a:b= ，由此推出AD= AF，可得∠FDA=∠DFA = 22.5°，由此即可解決問題；

(3)如圖4中，連接BD，取BD的中點O，連接OP、OA，由△DAG △BAE可得DG⊥BE ，推出∠DPB = 90°，由OD=OB=OD ，推出OP= OD= OB= OD ，可得點P在以BD為直徑的圓弧上運動，當旋轉角為0°時點P與A重合，∠ABE最大的位置為BE是⊙A的切線，此時∠ABE= 30°記此時點P的位置為，∠AO=60°，O=OA=b，在正方形AEFG繞點A逆時針方向由0°旋轉到180°的過程中，點在弧AP上往返一次.由180°旋轉到360°的過程，類似，由此即可解決問題，

（1）如圖2中，連接AF交BE于H，設DG交AB于O點，

∵四邊形ABCD，四邊形AEFG都是正方形，

∴AD=AB，AG=AE，∠DAB=∠GAE，

∴∠DAG=∠BAE，

∴△DAG≌△BAE，

在中，

在中，

DG＝BE＝+．

（2）如圖3中，連接AF

∵

∴，

∴a∶b=，

∵AF=，AD=，

∴AF=AD，

∴∠FDA＝∠DFA＝22.5°，∠FBG=67.5°

（3）如圖4中，連接BD,取BD的中點O，連接OP，OA

由△DAG≌△BAE可得DG⊥BE，

點P在以BD為直徑的圓弧上運動．當旋轉角為0°時，點P與A重合．∠ABE最大的位置為BE是⊙A的切線．此時∠ABE＝30°，

記此時點P的位置為P1，∠AOP1＝60°．OP1＝OA＝，

在正方形AEFG繞點A逆時針方向由0°旋轉到180°的過程中，點P在弧AP1上往返一次．由180°旋轉到360°的過程，類似．

所以路線長＝．