Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸相交于點A、點B，與y軸交于點C（0,3），對稱軸為直線x=1，交x軸于點D，頂點為點E．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接AC，CE，AE，求△ACE的面積；

（3）如圖2，點F在y軸上，且OF=，點N是拋物線在第一象限內一動點，且在拋物線對稱軸右側，連接ON交對稱軸于點G，連接GF，若GF平分∠OGE，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）1；（3）點N的坐標為：（，）．

【解析】

（1）由點C的坐標，求出c，再由對稱軸為x=1，求出b，即可得出結論；

（2）先求出點A，E坐標，進而求出直線AE與y軸的交點坐標，最后用三角形面積公式計算即可得出結論；

（3）先利用角平分線定理求出FQ=1，進而利用勾股定理求出OQ=1=FQ，進而求出∠BON=45°，求出直線ON的解析式，最后聯立拋物線解析式求解，即可得出結論．

解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c與y軸交于點C（0，3），

令x=0，則c=3，

∵對稱軸為直線x=1，

∴，

∴b=2，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）如圖1， AE與y軸的交點記作H，

由（1）知，拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，

令y=0，則-x2+2x+3=0，

∴x=-1或x=3，

∴A（-1，0），

當x=1時，y=-1+2+3=4，

∴E（1，4），

∴直線AE的解析式為y=2x+2，

∴H（0，2），

∴CH=3-2=1，

∴S△ACE=CH|xE-xA|=×1×2=1；

（3）如圖2， 過點F作FP⊥DE于P，則FP=1，過點F作FQ⊥ON于Q，

∵GF平分∠OGE，

∴FQ=FP=1，

在Rt△FQO中，OF=，

根據勾股定理得，OQ=，

∴OQ=FQ，

∴∠FOQ=45°，

∴∠BON=90°-45°=45°，

過點Q作QM⊥OB于M，OM=QM

∴ON的解析式為y=x①，

∵點N在拋物線y=-x2+2x+3②上，

聯立①②，則，

解得：或（由于點N在對稱軸x=1右側，所以舍去），

∴點N的坐標為：（，）．