Question

【題目】如圖，在中，，的平分線交于點，以為圓心，長為半徑作．

（1）求證：是的切線．

（2）設與切于點，，連接，，．

①當__________時，四邊形為菱形；

②當__________時，為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①30°；②1+

【解析】

（1）過點D作DH⊥AC于點H，根據角平分線的性質得到DH=BD即可得到結論；

（2）①根據菱形的性質證得△BDF是等邊三角形，即可求出答案；

②根據等腰直角三角形的性質得到CD=1，利用勾股定理求出CD=，設AB=x，由勾股定理建立方程求出x即可得到答案.

（1）過點D作DH⊥AC于點H，

∵，

∴DB⊥AB，

∵AD平分∠BAC，

∴DH=BD，

∴DH是的半徑，

∴是的切線．

（2）①∵四邊形為菱形，

∴BF=EF=DE=BD，

∵DF=DB=DE，

∴DF=DB=BF，

∴△BDF是等邊三角形，

∴∠BDF=60°，

∵，

∴∠BAD=30°，

故答案為：30°；

②∵與切于點，

∴∠AED=90°，

∵為等腰三角形，

∴CE=DE=,

∴CD=，

設AB=x，則AE=x，AC=x+1，BC=1+,

∵,

∴,

∴，

解得x=1+，

故答案為：1+.