Question

【題目】如圖，拋物線經過，兩點，且與軸交于點，拋物線與直線交于，兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）坐標軸上是否存在一點，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

（3）點在軸上且位于點的左側，若以，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或，理由見解析；（3）或．

【解析】

（1）將A、C的坐標代入求出a、c即可得到解析式；

（2）先求出E點坐標，然后作AE的垂直平分線，與x軸交于Q，與y軸交于Q'，根據垂直平分線的性質可知Q、與A、E，Q'與A、E組成的三角形是以AE為底邊的等腰三角形，設Q點坐標(0,x)，Q'坐標(0,y)，根據距離公式建立方程求解即可；

（3）根據A、E坐標，求出AE長度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，設，由相似得到或，建立方程求解即可．

（1）將，代入得：

，解得

∴拋物線解析式為

（2）存在，理由如下：

聯立和，

，解得或

∴E點坐標為(4,-5)，

如圖，作AE的垂直平分線，與x軸交于Q，與y軸交于Q'，

此時Q點與Q'點的坐標即為所求，

設Q點坐標(0,x)，Q'坐標(0,y)，

由QA=QE，Q'A= Q'E得：

，

解得，

故Q點坐標為或

（3）∵，

∴，

當時，解得或3

∴B點坐標為(3,0)，

∴

∴，，，

由直線可得AE與y軸的交點為(0,-1)，而A點坐標為(-1,0)

∴∠BAE=45°

設則，

∵和相似

∴或，即或

解得或，

∴或．