Question

【題目】（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．

（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；

（3）證明：當直線l繞點D旋轉時，均為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點P的坐標為（，0）或（，﹣4）；（3）．

【解析】試題分析：（1）由點C的坐標為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關于x的方程，解關于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；

（2）利用特殊銳角三角函數值可求得∠CAO=60°，依據AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30°，然后利用特殊銳角三角函數值可求得OD=1，則可得到點D的坐標．設點P的坐標為（，a）．依據兩點的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；

（3）設直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點M和點N的橫坐標，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．

試題解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．

令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴點A的坐標為（﹣，0），B（，0），∴拋物線的對稱軸為x=．

（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．

∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴點D的坐標為（0，1）．

設點P的坐標為（，a）．

依據兩點間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．

當AD=PA時，4=12+a2，方程無解．

當AD=DP時，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點P的坐標為（，0）．

當AP=DP時，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴點P的坐標為（，﹣4）．

綜上所述，點P的坐標為（，0）或（，﹣4）．

（3）設直線AC的解析式為y=mx+3，將點A的坐標代入得：，解得：m=，∴直線AC的解析式為．

設直線MN的解析式為y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴點N的坐標為（，0），∴AN==．

將與y=kx+1聯立解得：x=，∴點M的橫坐標為．

過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴= == =．