Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+5與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+5交于B，C兩點，已知點D的坐標為（0，3）

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M，N分別是直線BC和x軸上的動點，則當△DMN的周長最小時，求點M，N的坐標，并寫出△DMN周長的最小值；

（3）點P是拋物線上一動點，在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使∠PBA＝∠ODN？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）點M、N的坐標分別為（，）、（，0），△DMN周長的最小值＝；（3）點P（﹣，）．

【解析】

（1）求出點B、C的坐標、將點B、C坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）過點D分別作x軸和直線BC的對稱點D′（0，-3）、D″，連接D′D″交x軸、直線BC于點N、M，此時△DMN的周長最小，即可求解；

（3）tan∠ODN==tan∠PBA，確定直線BP的表達式，即可求解．

（1）y＝﹣x+5，令x＝0，則y＝5，令y＝0，則x＝5，

故點B、C的坐標分別為（5，0）、（0，5），

則二次函數表達式為：y＝﹣x2+bx+5，將點B坐標代入上式并解得：b＝4，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x+5…①，

令y＝0，則x＝﹣1或5，

故點A（﹣1，0），而OB＝OC＝2，故∠OCB＝45°；

（2）過點D分別作x軸和直線BC的對稱點D′（0，﹣3）、D″，

∵∠OCB＝45°，則CD″∥x軸，則點D″（2，5），

連接D′D″交x軸、直線BC于點N、M，此時△DMN的周長最小，

將點D′、D″的坐標代入一次函數表達式：y＝mx+n并解得：

直線D′D″的坐標代入一次函數表達式為：y＝4x﹣3，

則點M、N的坐標分別為（，）、（，0），

△DMN周長的最小值＝DM+DN+MN＝；

（3）如圖2，tan∠ODN＝＝tan∠PBA，

則直線BP的表達式為：y＝﹣x+s，將點B的坐標代入上式并解得：

直線BP的表達式為：y＝﹣x+…②，

聯立①②并解得：x＝5或﹣（舍去5）

故：點P（﹣，）．