Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點F.

(1)求證：四邊形AECD是菱形；

(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) EF＝.

【解析】

（1）根據平行四邊形和菱形的判定證明即可；

（2）根據菱形的性質和三角形的面積公式解答即可．

(1)證明：∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四邊形AECD是平行四邊形．

∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中點，

∴BE＝EC＝AE.

∴四邊形AECD是菱形．

(2)解：如圖，過點A作AH⊥BC于點H.

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理得AC＝8.

再根據面積關系，有S△ABC＝BC·AH＝AB·AC，

∴AH＝.

∵點E是BC的中點，BC＝10，四邊形AECD是菱形，

∴CD＝CE＝5.

∵S菱形AECD＝CD·EF＝CE·AH，

∴EF＝AH＝.