Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）與拋物線y＝+k均經過點A（1，0）．直線x＝m在這兩條拋物線的對稱軸之間（不與對稱軸重合）．函數y＝ax2﹣4ax+3（x≥m）的圖象記為G1，函數y＝+k（x≤m）的圖象記為G2，圖象G1與G2合起來得到的圖形記為G．

（1）求a、k的值．

（2）當m＝時，求圖形G上y隨x的增大而減小時x的取值范圍．

（3）當﹣2≤x≤時，圖形G上最高點的縱坐標為2，求m的值．

（4）當直線y＝2m﹣1與圖形G有2個公共點時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝1，k＝﹣2；（2）x≤﹣1或≤x≤2；（3）m＝2﹣或m=﹣1+2；（4）﹣＜m≤1﹣，m＝0，3﹣≤m＜1+；

【解析】

（1）把A點坐標代入兩個函數解析式中，便可求得待定系數a和k；

（2）根據情況，畫出函數圖象，結合函數圖象求解；

（3）將m分兩種情況畫圖討論；

（4）第四問需要畫圖找到四個臨界點，結合圖象解題．

解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）與拋物線y＝+k圖象G1與均經過點A（1，0）

∴a﹣4a+3＝0，×22+k＝0，

解得a＝1，k＝﹣2；

（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴圖象G1與的對稱軸為直線x＝2，

∵y＝﹣2，∴圖象G2與的對稱軸為直線x＝﹣1，

∴當m＝時，圖形G上y隨x的增大而減小時x的取值范圍是x≤﹣1或≤x≤2；

（3）當﹣1＜m＜1時，m2﹣4m+3＝2 （如圖1）

解得m1＝2﹣，m2＝2+＞1（舍去）

當1＜m＜2時，（m+1）2﹣2＝2 （如圖2）

解得m1＝﹣1+2，m2＝﹣1﹣2＜1（舍去）

（4）當直線y＝2m﹣1與y＝（x﹣2）2﹣1，x＝m相交時，

2m﹣1＝（m﹣2）2﹣1，

∴m＝3+，m＝3﹣；

當直線y＝2m﹣1與y＝﹣2，x＝m相交時，

2m﹣1＝﹣2

∴m＝1+，m＝1﹣，

當y＝2m﹣1＝﹣2時，m＝﹣，

當y＝2m﹣1＝﹣1時，m＝0，

∴﹣＜m≤1﹣，m＝0，3﹣≤m＜1+；