Question

已知：如圖，∠MAN=30°，O為邊AN上一點，以O為圓心、2為半徑作⊙O，交AN于D、E兩點，設AD=x
。
⑴如圖⑴，當x取何值時，⊙O與AM相切；
⑵如圖⑵，當x為何值時，⊙O與AM相交于B、C兩點，且∠BOC=90°。

Answer 1

解：（1）如圖⑴，設⊙O與AM相切于C，連結OC， 則∠ACO=90°， ∵∠MAN=30°， ∴OA=2OC， ∵OC=2， ∴OA=4， ∴AD=OA-OD=2， 即當x=2時，⊙O與AM相切； （2）如圖⑵，過點O作OG⊥AM于G， 當∠BOC=90°時， ∵OB=OC=2， ∴BC=2， 又∵OG⊥BC， ∴G為BC的中點， ∴OG=BC=， 又∵∠A=30°， ∴OA=2， ∴AD=2-2， 即當x=2-2時，⊙O與AM相交于B、C兩點，且∠BOC=90°。