Question

【題目】等邊△ABC 的邊長為 4，AD 是 BC 邊上的中線，F 是邊 AD 上的動點，E 是邊 AC 上的點， 當 AE=2，且 EF+CF 取得最小值時.

（Ⅰ）能否求出∠ECF 的度數？_____（用“能”或“否”填空）；

（Ⅱ）如果能，請你在圖中作出點 F（保留作圖痕跡，不寫證明）.并直接寫出∠ECF 的度 數；如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）能；（Ⅱ）30°．

【解析】

（Ⅰ）過E作EM∥BC，交AD于N，連接CM交AD于F，連接EF，推出M為AB中點，求出E和M關于AD對稱，根據等邊三角形性質求出∠ACM，即可．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可得結論.

（Ⅰ）能；

（Ⅱ）過E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，

∴EC=2=AE，

∴AM=BM=2，

∴AM=AE，

∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，

∴AD⊥BC，

∵EM∥BC，

∴AD⊥EM，

∵AM=AE，

∴E和M關于AD對稱，

連接CM交AD于F，連接EF，

則此時，EF+CF的值最小，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵AM=BM，

∴∠ECF=∠ACB=30°，

故答案為30°．