Question

【題目】已知：如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BA＝AC，點E、F是線段BC上兩動點且∠EAF＝45°，請寫出BE、EF、FC之間的等量關系并證明.

Answer 1

【答案】BE2+ FC2= EF2，證明見解析.

【解析】

將△ABE逆時針旋轉90度到△ACD的位置，點B、E的對應點為點C、D，首先證明∠EAF＝∠FAD＝45°，然后利用SAS證明△AEF≌△ADF，得到EF＝DF，求出∠FCD＝90°，根據勾股定理可得結論.

BE2+ FC2= EF2，

證明：如圖，將△ABE逆時針旋轉90度到△ACD的位置，點B、E的對應點為點C、D，

∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，BE=CD，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠FAC＝45°，

∴∠CAD +∠FAC＝45°，

∴∠EAF＝∠FAD＝45°，

又∵AE=AD，AF=AF，

∴△AEF≌△ADF（SAS），

∴EF＝DF，

∵∠ACD＝∠ABE＝∠ACB＝45°，

∴∠FCD＝90°，

∴FC2+CD2=DF2，即BE2+ FC2= EF2.