Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A、B(1，0)，與y軸交于點D，直線AD：，拋物線頂點為C，作CH⊥x軸于點H.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點M，使得S△ACD=S△MAB？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；

(3)若點P為x軸上方的拋物線上一動點(點P與頂點C不重合)，PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）M（，4）、（，）、（，）（3）P（，）或（，）

【解析】

(1)根據題意直線AD：，可以求出點A坐標，然后把A、B坐標代入表達式求出二次函數解析式即可；

(2)先求出，進而求出，根據面積公式可求出點M的縱坐標，把M的縱坐標代入表達式求出橫坐標即可求出M的坐標；

(3) 分類討論，首先求出直線CM的解析式為，再聯立兩函數解析式即可得出交點坐標，再利用若點P在對稱軸左側，只能是，得得出答案即可．

解：(1)根據題意可得：，

把點和代入中，

得出：.

(2)如圖所示：根據(1)得：

所以：，

連接AC、BC之后求出，

，

故,已知,

的高為4，即M的縱坐標為，

當縱坐標為4的時候，代入表達式：，得出：，

，

當縱坐標為的時候，代入表達式：，得出：，

，

綜合得：

(3) ①若點P在對稱軸右側,如圖:

只能是，得

延長CP交x軸于M，

設,則，

即

設直線CM的解析式為，

則：，解得：，

，

聯立：，解得：或(舍去)

.

②若點P在對稱軸左側,如圖:

只能是，得

過A作CA的垂線交PC于點F，作軸于點N.

由得,

由得,

∴ 則，

∴點F坐標為

設直線CF的解析式為,

,解得：，

∴直線CF的解析式，

聯立：，解得：或(舍去)

綜合上述得：或