Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm．點P從點A出發，沿AB方向勻速運動，速度為1cm/s；過點P作直線PF∥AD，PF交CD于點F，過點F作EF⊥BD，且與AD、BD分別交于點E、Q；連接PE，設點P的運動時間為t（s）（0＜t＜10）．

解答下列問題：

（1）填空：AB= cm；

（2）當t為何值時，PE∥BD；

（3）設四邊形APFE的面積為y（cm2）

①求y與t之間的函數關系式；

②若用S表示圖形的面積，則是否存在某一時刻t，使得S四邊形APFE=S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）當t=5時，PE∥BD；（3）①，②存在t=4s，使得S四邊形APFE=S菱形ABCD．

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，運用勾股定理求出AB=10．

（2）由△APE∽△ABD，得出，求出t的值即可；

（3）①過點C作CG⊥AB于點G，由S菱形ABCD=ABCG=ACBD，求出CG．據S平行四邊形APFD=（AP+DF）CG．S△EFD=EFQD．得出y與t之間的函數關系式；

②由S菱形ABCD=ABCG，求出CG，由S四邊形APFE=S菱形ABCD，求出t即可．

解：（1）∵在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm，

∴BO=DO=8cm，AO=CO=6cm，

∴AB==10（cm），

故答案為：10；

（2）∵在菱形ABCD中，∴AB∥CD，∠ADB=∠CDB，

又∵PF∥AD，

∴四邊形APFD為平行四邊形，

∴DF=AP=t，

又∵EF⊥BD于Q，且∠ADB=∠CDB，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DE=DF=t，

∴AE=10﹣t，

當PE∥BD時，△APE∽△ABD，

∴，

∴，

∴t=5，

∴當t=5時，PE∥BD；

（3）①∵∠FDQ=∠CDO，∠FQD=∠COD=90°，

∴△DFQ∽△DCO．

∴，

即，

∴．

∴，

同理，，

如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵S菱形ABCD=ABCG=ACBD，

即10CG=×12×16，

∴CG=．

∴S平行四邊形APFD=DFCG=，

∴S△EFD=EFQD=

∴，

②當S四邊形APFE=S菱形ABCD

則，

即t2﹣20t+64=0，

解這個方程，得t1=4，t2=16＞10（不合，舍去）

∴存在t=4s，使得S四邊形APFE=S菱形ABCD．