Question

【題目】已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC邊上一點，連接AD，分別以CD和AD為直角邊作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，點E，F在BC下方，連接EF．

（1）如圖1，當BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD時，

求證：①∠CAD＝∠CDF，

②BD＝EF；

（2）如圖2，當BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD時，猜想BD和EF之間的數(shù)量關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）BD＝EF，理由見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)同角的余角相等證明；

②作FH⊥BC交BC的延長線于H，證明△ACD≌△DHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DH=AC，結合圖形證明即可；

（2）作FG⊥BC交BC的延長線于G，證明△ACD∽△DGF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DG=2AC，證明結論．

（1）證明：①∵∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ADC＝90°，

∵∠CDF+∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝∠CDF；

②作FH⊥BC交BC的延長線于H，

則四邊形FECH為矩形，

∴CH＝EF，

在△ACD和△DHF中，

，

，

，

，

，即，

；

（2），

理由如下：作交的延長線于，

則四邊形為矩形，

，

，，

，

，即，GF＝2CD，

∵BC＝2AC，CE＝2CD，

∴BC＝DG，GF＝CE，

∴BD＝CG，

∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，

∴四邊形FECG為矩形，

∴CG＝EF，

∴BD＝EF．