Question

【題目】如圖1，拋物線y1＝x2+bx+c經過原點，交x軸于另一點A（4，0），頂點為P．

（1）求拋物線y1的解析式和點P的坐標；

（2）如圖2，點Q（0，a）為y軸正半軸上一點，過點Q作x軸的平行線交拋物線y1＝x2+bx+c于點M，N，將拋物線y1＝x2+bx+c沿直線MN翻折得到新的拋物線y2，點P落在點B處，若四邊形BMPN的面積等于，求a的值及點B的坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，在第一象限的拋物線y1＝x2+bx+c上取一點C，連接OC，作CD⊥OB于D，BE⊥OC交x軸于E，連接DE，若∠BEO＝∠DEA，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y1＝x-x，點P的坐標（2，﹣）；（2）B（2，2）；（3）C（5，1）

【解析】

（1）根據拋物線y1＝x2+bx+c經過原點和交x軸于另一點A（4，0），即可求出拋物線y1的解析為，點P的坐標；

（2）四邊形BMPN的面積等于，所以，聯立，化簡得 x2-4x-5a=0，MN=|x1-x2|=，S△MNP，解得a=，所以B（2，2）；

（3）延長DC與x軸交于點F，∵B（2，2），直線OB：y=x，設點C的坐標，則直線CD：，直線OC：，所以點F，，易證△BOE～△DFE，則，求得m=5或m=4（舍去），所以C（5，1）．

解：（1）∵拋物線y1＝x2+bx+c經過原點，交x軸于另一點A（4，0），

∴

解得，

則拋物線y1的解析為，點P的坐標；

（2）四邊形BMPN的面積等于，所以，聯立

化簡得x2-4x-5a=0，MN=|x1-x2|=，

S△MNP，

解得a＝，所以B（2，2）；

（3）延長DC與x軸交于點F，

∵B（2，2），

∴直線OB：y=x，

設點C的坐標，

∵CD⊥OB，

∴直線CD：，

直線OC：，

∴點F，

，

∵BE⊥OC，

∴直線BE：，

∴點，

，

∵∠BEO=∠DEA，∠BOE=∠DFE=45°，

∴△BOE～△DFE，

，

即，

解得m=5或m=4（舍去），

所以C（5，1）．