Question

【題目】如圖，在四邊形中，， 交于，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，恰好是的中點(diǎn).

（1）求的值；

（2）若，求證：四邊形是矩形.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見(jiàn)解析

【解析】分析: （1）根據(jù)AB∥CD，得到∠ABE=∠EDC.證明△ABE∽△FDE.得到.進(jìn)一步說(shuō)明AB=DF.再證明△ABG∽△CDG，.

根據(jù)AB∥CF，AB=CF，證明四邊形ABCF是平行四邊形. 證明∠CFA=90°.根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證明..

（1）∵ AB∥CD，

∴ ∠ABE=∠EDC.

∵ ∠BEA=∠DEF，

∴ △ABE∽△FDE.

∴ .

∵ E是BD的中點(diǎn)，

∴ BE=DE.

∴ AB=DF.

∵ F是CD的中點(diǎn)，

∴ CF=FD.

∴ CD=2AB.

∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，

∴ △ABG∽△CDG.

∴ .

（2）證明：∵ AB∥CF，AB=CF，

∴ 四邊形ABCF是平行四邊形.

∵ CE=BE，BE=DE，

∴ CE=ED.

∵ CF=FD，

∴ EF垂直平分CD.

∴ ∠CFA=90°.

∴ 四邊形是矩形.