Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，且DH是⊙O的切線，連接DE交AB于點F．

（1）求證：DC=DE；

（2）若AE=1，，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）連接OD，由DH⊥AC，DH是⊙O的切線，然后由平行線的判定與性質可證∠C=∠ODB，由圓周角定理可得∠OBD=∠DEC，進而∠C=∠DEC，可證結論成立；

（2）證明△OFD∽△AFE，根據相似三角形的性質即可求出圓的半徑.

（1）證明：連接OD，

由題意得：DH⊥AC，由且DH是⊙O的切線，∠ODH=∠DHA=90°，

∴∠ODH=∠DHA=90°，

∴OD∥CA，

∴∠C=∠ODB，

∵OD=OB，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠OBD=∠C，

∵∠OBD=∠DEC，

∴∠C=∠DEC，

∴DC=DE；

（2）解：由（1）可知：OD∥AC，

∴∠ODF=∠AEF，

∵∠OFD=∠AFE，

∴△OFD∽△AFE，

∴，

∵AE=1，

∴OD=，

∴⊙O的半徑為．