Question

【題目】如圖，在中， ．在同一平面內，內部一點到的距離都等于（為常數），到點的距離等于的所有點組成圖形．

（1）直接寫出的值；

（2）連接并延長，交于點，過點作于點．

①求證：；

②求直線與圖形的公共點個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②直線與圖形的公共點個數為1

【解析】

（1）連接OA，OB，OC，推出∠A=90°，再根據S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC列式求解即可；

（2）根據題意得出OB平分∠ABC，即，再根據，即可證明；

（3）設與的切點為，連接，作于點，證明即可得出答案．

解：（1）連接OA，OB，OC，

∵AB=3，AC=4，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

∴S△ABC=ABAC=×3×4=6，

∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC

=（AB+AC+BC）×a

=（3+4+5）×a

∴×12a=6

∴a=1；

（2）

①由題意可知圖形是以為圓心，為半徑的圓，與相切，

∵點O到AB、BC的距離為1，

∴OB平分∠ABC，

∴，

∵，

∴∠A=90°，

∵，

∴，

∴∠BMA=90°-∠ABM，

∠BMN=90°-∠NBM，

∴；

②如圖，設與的切點為，連接，作于點，

∵，OE⊥MN，

∴∠ODM=∠OEM，

由①可知∠BMA=∠BMN，

又∵OM=OM，

∴△ODM≌△OEM，

∴，

∴為的半徑，

∴為的切線，

∴直線與圖形的公共點個數為1．