Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，若射線上存在點，使得是以為腰的等腰三角形，就稱點為線段關于射線的等腰點．

(1)如圖， ，

①若，則線段關于射線的等腰點的坐標是_____；

②若，且線段關于射線的等腰點的縱坐標小于1，求的取值范圍；

(2) 若，且射線上只存在一個線段關于射線的等腰點，則的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）；（3）或或或

【解析】

（1）①根據線段AB關于射線OC的等腰點的定義可知OP=AB=2，即可解答；
②如圖，設以點為圓心， 為半徑的圓與直線在第二象限的交點為，作垂直軸于點，C位于D點左側時滿足條件；
（2）如圖，作CH⊥y軸于H．分別以A，B為圓心，AB為半徑作⊙A，⊙B，先求出∠COH=30°，由射線OC上只存在一個線段AB關于射線OC的等腰點，推出射線OC與⊙A，⊙B只有一個交點，然后討論幾種特殊情況即可找到范圍．

解：（1）①如圖1中，由題意可知A（0，0），B（2，0），C（0，1），

∵點P是線段AB關于射線OC的等腰點，
∴OP=AB=2，
∴P（0，2）；

②如圖，設以點為圓心， 為半徑的圓與直線在第二象限的交點為，作垂直軸于點，

，

在中，根據勾股定理得，

的取值范圍是；

（2）如下圖，作CH⊥y軸于H．分別以A，B為圓心，AB為半徑作⊙A，⊙B．

由題意C（，1），
∴CH=，OH=1，
∴tan∠COH，
∴∠COH=30°，
當⊙B經過原點時，B（-2，0），此時t=-4，
∵射線OC上只存在一個線段AB關于射線OC的等腰點，
∴射線OC與⊙A，⊙B只有一個交點，觀察圖象可知當-4＜t≤-2時，滿足條件，
如下圖，當點A在原點時，∵∠POB=60°，此時兩圓的交點P在射線OC上，滿足條件，此時t=0，

如下圖，當⊙B與OC相切于P時，連接BP，

∴OC是⊙B的切線，
∴OP⊥BP，
∴∠OPB=90°，
∵BP=2，∠POB=60°，
∴，

∴，此時，
如下圖，當⊙A與OC相切時，同法可得，此時，

觀察圖形可知，滿足條件的t的值為，
綜上所述，滿足條件t的值為或或或．