Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P．OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，連結AF．

（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由；
（2）已知半徑為20，AF=15，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OC，如圖所示：

∵AB是⊙O直徑，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切線；

（2）解：∵⊙O的半徑為20，AF=15，∠OAF=90°，

∴OF= = =25

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面積= AFOA= OFAE，

∴15×20=25×AE，

解得：AE=12，

∴AC=2AE=24．

【解析】（1）根據題意由AB是⊙O直徑，得到∠BCA=90°，已知OF∥BC，得到∠3=∠2，根據兩邊對應相等且夾角對應相等的兩三角形全等，得到△OAF≌△OCF，再由PC是⊙O的切線，得到AF是⊙O的切線；（2）在⊙O中由勾股定理求出OF的值，由FA⊥OA，OF⊥AC，得到△OAF的面積的代數式，求出AC=2AE的值.