Question

【題目】定義：在三角形中，若有兩條中線互相垂直，則稱(chēng)該三角形為中垂三角形．

（1）如圖（1），是中垂三角形，，分別是，邊上的中線，且于點(diǎn)，若，求證：是等腰三角形．

　　　　　　　　　

（2）如圖（2），在中垂三角形中，，分別是邊，上的中線，且于點(diǎn)，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

（3）如圖（3），四邊形是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

①求證：是中垂三角形；

②若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.證明見(jiàn)解析；（3）①見(jiàn)解析；②40.

【解析】

（1）連接DE，根據(jù)三角形中位線定理可得，繼而，由等角對(duì)等邊可得，可得根據(jù)全等三角形的判定方法可證得，進(jìn)而可得，由題意可得，最后由等邊對(duì)等角即可證得結(jié)論；

（2）如圖，連接，由中位線定理可得，，，再列式由勾股定理、等量代換即可求證；

（3）①先證得MN是△AOD的中位線，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：CM⊥BN，AD∥BC且AD＝BC，繼而可得，，繼而即可求證結(jié)論；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：BC＝AB，再由題（2）的結(jié)論可得， 代入數(shù)值即可求解．

（1）證明：∵，，.

連接，由題意可得是的中位線，

∴，

∴，

∴，.

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰三角形.

（2）.

證明：如圖，連接，

∵，分別是邊，上的中線，

∴，，，

∴，，，

∴

.

（3）①證明：如圖，連接.

∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，

∴是的中位線，

則，且.

∵四邊形是菱形，

∴，，且，

∴，，

從而易得，，

∴，是的中線，

∴是中垂三角形.

②40.

由（2）易得.