Question

【題目】已知：二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，對稱軸是直線x=1，且圖象向右平移一個單位后經過坐標原點O,

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)直線交y軸于D點，E為拋物線頂點.若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值.

(3)在(2)問的前提下，P為拋物線對稱軸上一點，且滿足PA=PC，在y軸右側的拋物線上是否存在點M，使得△BDM的面積等于PA2若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）這個二次函數的解析式為；

（2）α-β=45°

（3）綜上所述，存在符合條件的點M其坐標為或.

【解析】分析： (1)根據二次函數的對稱性可求得點B的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組求得待定系數的值，即可確定該拋物線的解析式；

(2)根據拋物線和直線BD的解析式，可求得C、D、E的坐標，即可得到∠OBC=∠OCB=45 °；所求角的度數差可轉化為∠OBC的度數；在Rt△OBC中，已經求得∠OBC=∠OCB=45 °，由此得解；

(3)易知拋物線的對稱軸方程，可設出點P的解析式，求出點P的坐標，進而得到PA的值，即可求得△BDM的面積．可用面積割補法求解.

本題解析：

(1)由題意，A(-1,0)

對稱軸是直線x=1

∴B(3,0)

把A(-1,0)，B(3,0)分別代入y=ax-2x+c得

解得

∴這個二次函數的解析式為y=x-2x-3

(2) ∵直線 與y軸交于D(0,1), ∴OD=1

由Y=X-2X-3=(x-1)-4得E91，-4）

連接CE過E作EF⊥y軸于F(如圖1)，則EF=1

∵拋物線y=x-2x-3與y軸交于C90，-3

∴OC=OB=3，CF=1=EF

(如圖1)

∴∠OBC=∠OCB=∠FCE=45°,

BC=,CE=

∴∠BCE=90°=∠BOD, ,

∴

∴△BOD∽△BCE

∴∠CBF=∠DBO

∴

(3)設P(1，n)

∵PA=PC

∴PA=PC, 即(1+1)+(n-0)=(1+0)+(n+3)

解得n=-1

∴PA=(1+1)+(-1-0)=5

∴

方法一：設存在符合條件的點M(m,m-2m-3),則m>0

①當M在直線BD上側時，連接OM(如圖1)，

則

即

整理，得

解得 (舍去)，

把代入 得

∴

②當M在直線BD下側時，不妨叫連接 (如圖1)，

則

即

整理，得

解得 (舍去)

把m=2代入 得y=-3

∴

綜上所述，存在符合條件的點M其坐標為或(2,-3).

方法二：設存在符合條件的點，則m>0

①當M在直線BD上側時，過M作MG∥y軸，交DB于G(如圖2)

設D、B到MG距離分別為則

即 , ,

整理，得

解得 (舍去)，

把代入y=m-2m-3得y=

∴M()

②當M在直線BD下側時，不妨叫過作∥y軸，交DB于 (如圖2)

設D、B到距離分別為則

即

整理，得3m-5m-2=0

解得 (舍去)

把m=2代入y=m-2m-3得y=-3

∴

綜上所述，存在符合條件的點M其坐標為或(2,-3)

方法三：①當M在直線BD上側時，過M作MH∥BD交y軸于H,連接BH(如圖3)

則,即

∴DH=

∴H(0, )

∴直線BH解析式為y=

聯立 得 或

M在y軸右側, ∴M坐標為

②當M在直線BD下側時，不妨叫 過作∥BD，交y軸于,

連接B (如圖3)，同理可得D=

∴ (0, )

∴直線 解析式為

聯立得或

∵在y軸右側，∴坐標為(2,-3)

綜上所述，存在符合條件的點M,其坐標為或(2,-3).