Question

【題目】在扇形中，，半徑，點(diǎn)P為上任一點(diǎn)（不與A、O重合）.

（1）如圖①，Q是上一點(diǎn)，若，求證：.

（2）如圖②，將扇形沿折疊，得到O的對(duì)稱點(diǎn).

①若點(diǎn)落在上，求的長(zhǎng)；

②當(dāng)與扇形所在的圓相切時(shí)，求折痕的長(zhǎng).（注：本題結(jié)果不取近似值）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①π；②.

【解析】

（1）證明即可；

（2）①通過折疊的性質(zhì)可得推出是等邊三角形，從而得出角度計(jì)算弧長(zhǎng)；

②過點(diǎn)O作于點(diǎn)C，通過解直角三角形分別求得BP，CP的長(zhǎng)即可.

解：（1）證明：∵，，，

∴.

∴.

（2）解：①如解圖①，點(diǎn)落在上，連接，則是等邊三角形，

∴.

∴，

∴.

∴.

②與扇形所在的圓相切時(shí)，如解圖②所示，

∴.

∴.

過點(diǎn)O作于點(diǎn)C，

∵，，

∴.

又∵，，

∴，.

∴.

∴折痕的長(zhǎng)為.