Question

【題目】如圖，，為中點，點為射線上（不與點重合）的任意一點，連接，并使的延長線交射線于點，設．

（1）求證：；

（2）當時，求的長；

（3）當的外心不在三角形外部時，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）

【解析】

（1）根據AAS證明：△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：PM=PN，利用正切函數可得結論；
（3）△BPN是銳角三角形，由三角形的內角和可得結論．

（1）∵P是AB的中點，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，

，

∴△APM≌△BPN（ASA）；

（2）由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，

∵∠BPN=90°，

∴在Rt△BPN中，∠BPN=90°，∠B=30°，PB=，

∴；

（3）∵△BPN的外心不在三角形外部，

∴△BPN是銳角三角形，
∵∠B=30°，
∴90°-30°＜∠BPN＜90°，即60°＜α＜90°．