Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數）與x軸交于點（x1，0）和（x2，0），與y軸交于點A，點E為拋物線頂點．

（Ⅰ）當x1＝﹣1，x2＝3時，求點E，點A的坐標；

（Ⅱ）①若頂點E在直線y＝x上時，用含有b的代數式表示c；

②在①的前提下，當點A的位置最高時，求拋物線的解析式；

（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，當P（1，0）滿足PA+PE值最小時，求b的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）點A的坐標為（0，3），點E的坐標為（1，4）；（Ⅱ）①c＝；②；（Ⅲ）3+．

【解析】

（Ⅰ）根據題意和x1＝﹣1，x2＝3，可以得到點（﹣1，0），（3，0）在拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的圖象上，然后即可求得該拋物線的解析式，再將拋物線解析式化為頂點式，即可得到點A和點E的坐標；

（Ⅱ）①將題目中的函數解析式化為頂點式，再根據題目中頂點E在直線y＝x上，即可得到c和b的關系；

②根據①的結果和二次函數的性質，可以求得當點A的位置最高時，拋物線的解析式；

（Ⅲ）根據x1＝﹣1，b＞0和題目中的函數解析式，可以得到點A的坐標，然后即可求得直線AP的解析式，再根據最短路線問題可以得到當P（1，0）滿足PA＋PE值最小時b的值．

解：（Ⅰ）∵拋物線y＝﹣x2＋bx＋c（b，c為常數）與x軸交于點（x1，0）和（x2，0），與y軸交于點A，點E為拋物線頂點，x1＝﹣1，x2＝3，

∴點（﹣1，0），（3，0）在拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的圖象上，

∴，解得，

∴y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，

∴點A的坐標為（0，3），點E的坐標為（1，4）；

（Ⅱ）①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝，

∴點E的坐標為（，），

∵頂點E在直線y＝x上，

∴＝，

∴c＝；

②由①知，，

則點A的坐標為（0，），

∴當b＝1時，此時點A的位置最高，函數y＝﹣x2＋x＋，

即在①的前提下，當點A的位置最高時，拋物線的解析式是；

（Ⅲ）∵x1＝﹣1，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c過點（x1，0），

∴﹣1﹣b＋c＝0，

∴c＝1＋b，

∵點E的坐標為（，），點A的坐標為（0，c），

∴E（，），A（0，b＋1），

∴點E關于x軸的對稱點E′（，﹣），

設過點A（0，b＋1）、P（1，0）的直線解析式為y＝kx＋t，

，得，

∴直線AP的解析式為y＝（﹣b﹣1）x＋（b＋1）＝﹣（b＋1）x＋（b＋1）＝（b＋1）（﹣x＋1），

∵當直線AP過點E′時，PA＋PE值最小，

∴﹣＝（b＋1）（﹣＋1），

化簡得：b2﹣6b﹣8＝0，

解得：b1＝，b2＝

∵b＞0，

∴b＝，

即b的值是3＋．