Question

【題目】如圖，直線AB：y=﹣x﹣b分別與x，y軸交于A（6，0）、B兩點，過點B的直線交x軸負半軸于C，且OB：OC=3：1．

（1）求點B的坐標；
（2）求直線BC的解析式；
（3）直線EF：y=2x﹣k（k≠0）交AB于E，交BC于點F，交x軸于點D，是否存在這樣的直線EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A（6，0）代入直線AB解析式可得：0=﹣6﹣b，

解得：b=﹣6，

∴直線AB 解析式為y=﹣x+6，

∴B點坐標為：（0，6）

（2）

解：∵OB：OC=3：1，

∴OC=2，

∴點C的坐標為（﹣2，0），

設BC的解析式是y=ax+c，代入得； ，

解得： ，

∴直線BC的解析式是：y=3x+6

（3）

解：過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°．

∵S△EBD=S△FBD，

∴DE=DF．

又∵∠NDF=∠EDM，

∴△NFD≌△EDM，

∴FN=ME，

聯立得 ，

解得：yE=﹣ k+4，

聯立 ，

解得：yF=﹣3k﹣12，

∵FN=﹣yF，ME=yE，

∴3k+12=﹣ k+4，

∴k=﹣2.4；

當k=﹣2.4時，存在直線EF：y=2x+2.4，使得S△EBD=S△FBD．

【解析】（1）將點A（6，0）代入直線AB的解析式，可得b的值，繼而可得點B的坐標；（2）設BC的解析式是y=ax+c，根據B點的坐標，求出C點坐標，把B，C點的坐標分別代入求出a和c的值即可；（3）過E、F分別作EM⊥x軸，FN⊥x軸，則∠EMD=∠FND=90°，有題目的條件證明△NFD≌△EDM，進而得到FN=ME，聯立直線AB：y=﹣x﹣b和y=2x﹣k求出交點E和F的縱坐標，再利用等底等高的三角形面積相等即可求出k的值；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的性質的相關知識，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小，以及對一次函數的圖象和性質的理解，了解一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠．