Question

【題目】如圖，在邊長為的正方形中，點在上從向運動，連接交于點．

（）試證明：無論點運動到上何處時，都有≌．

（）若點從點運動到點，再繼續在上運動到點，在整個運動過程中，點以每秒單位長度的速度勻速運動，當恰為等腰三角形，求點運動的時間．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點運動時間分別為， ， ．

【解析】試題分析：（1）根據SAS證明即可；（2）分別討論當AD=DQ，AD=AQ，AQ=DQ三種情況.

解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAC=∠BAC，

在△ADQ和△ABQ中，AD=AB，∠DAC=∠BAC，AQ=AQ，∴△ADQ≌△ABQ.

（2）①如圖①中，當AQ=DQ時，∠QDA=∠QAD=45°，則點Q為正方形ABCD的中心，點B與點P重合，此時點P運動的時間為t1=4÷1=4（s）；

②圖②中，當AQ=AD時，則∠ADQ=∠AQD，

∵正方形ABCD邊長為4，∴AC，

∴CQ=AC-AQ=，

∵AD∥BC，∴∠CPQ=∠ADQ，

∴∠CPQ=∠AQD=∠CQP，∴CP=CQ=，

∴BP=，

∴P點運動的時間為t2=（4+8-）÷1．

（3）如圖③，當AD=DQ時，點C，P，Q三點重合，

此時P點運動時間為t3=（4+4）÷1=8（s）．

綜上，當△ADQ恰為等腰三角形時，點P運動時間可以為4s， ，8s．