Question

【題目】問題背景

如圖，在正方形的內部，作，根據三角形全等的條件，易得≌≌≌，從而得到四邊形是正方形．

類比探究

如圖，在正的內部，作， ， ， 兩兩相交于， ， 三點（， ， 三點不重合）．

（）， ， 是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明．

（）是否為正三角形？請說明理由．

（）進一步探究發現，圖中的的三邊存在一定的等量關系，設， ， ，請探索， ， 滿足的等量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是；（3）

【解析】試題分析：（1）由正三角形的性質得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，證出∠ABD=∠BCE，由ASA證明△ABD≌△BCE即可；

（2）由全等三角形的性質得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，證出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出結論；

（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性質得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出結論．

試題解析：（ ）≌≌，理由如下：

∵是正三角形，

∴， ，

∵， ， ，

∴，

在和中， ，

∴≌，

同理可得≌，

∴≌≌．

（）是正三角形，理由如下．

∵≌≌，

∴，

∴，

∴是正三角形．

（）作于，如圖所示：

∵是正三角形，

∴，

在中， ， ，

在中，

∴．