Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD內接于圓O，AC是圓O的直徑，過點A的切線與CD的延長線相交于點P.且∠APC＝∠BCP.

(1)求證：∠BAC＝2∠ACD.

(2)過圖1中的點D作DE⊥AC于E，交BC于G(如圖2)，BG：GE＝3：5，OE＝5，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)⊙O的半徑為13.

【解析】

(1)連接BD，作DF⊥BC于F，由切線的性質得出∠PAC＝90°，由圓周角定理得出∠ADC＝90°，證出∠APC＝∠DAC＝∠DBC，得出∠DBC＝∠BCP，證出BD＝CD，由等腰三角形的性質和垂徑定理得出BF＝CF＝BC，D、O、F三點共線，∠CDF＝∠BDC，由圓周角定理和等腰三角形的性質即可得出結論；

(2)設BG＝3x，則GE＝5x，證明△DEC≌△CFD(AAS)，得出DE＝CF，CE＝DF，求出OE＝OF＝5，證明△GDF≌△GCE(ASA)，得出GF＝GE＝5x，得出DE＝CF＝BF＝BG+GF＝8x，DG＝DE+GE＝13x，由勾股定理得出DF＝＝12x，證明△ODE∽△GDF，得出＝，解得x＝，進而得出答案.

證明：(1)連接BD，作DF⊥BC于F，如圖1所示：

∵PA是⊙O的切線，

∴PA⊥AC，

∴∠PAC＝90°，

∴∠APC+∠ACP＝90°，

∵AC是圓O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠ACP＝90°，

∴∠APC＝∠DAC＝∠DBC，

∵∠APC＝∠BCP，

∴∠DBC＝∠BCP，

∴BD＝CD，

∵DF⊥BC，

∴BF＝CF＝BC，D、O、F三點共線，

∴∠CDF＝∠BDC，

∵∠BDC＝∠BAC，

∴∠BAC＝2∠CDF，

∵OD＝OC，

∴∠CDF＝∠ACD，

∴∠BAC＝2∠ACD；

解：(2)∵BG：GE＝3：5，

∴設BG＝3x，則GE＝5x，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC＝90°＝∠CFD，

在△DEC和△CFD中，，

∴△DEC≌△CFD(AAS)，

∴DE＝CF，CE＝DF，

∴OE﹣OC＝DF﹣OD，即OE＝OF＝5，

∵∠DGF+∠GDF＝∠DGF+∠GCE＝90°，

∴∠GDF＝∠GCE，

在△GDF和△GCE中，，

∴△GDF≌△GCE(ASA)，

∴GF＝GE＝5x，

∴DE＝CF＝BF＝BG+GF＝3x+5x＝8x，

∴DG＝DE+GE＝13x，

∴DF＝＝＝12x，

∵∠ODE＝∠GDF，∠DEO＝∠DFG＝90°，

∴△ODE∽△GDF，

∴＝，即＝，

解得：x＝，

∴DF＝12×＝18，

∴OD＝DF﹣OF＝18﹣5＝13，

即⊙O的半徑為13.