Question

【題目】已知：拋物線經過坐標原點．

（1）求拋物線的解析式和頂點B的坐標；

（2）設點A是拋物線與x軸的另一個交點且A、C兩點關于y軸對稱，試在y軸上確定一點P，使PA+PB最短，并求出點P的坐標；

（3）過點A作AD∥BP交y軸于點D，求到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y＝﹣x2+2x，頂點B的坐標是（，3）；（2）點P的坐標是（0，2）；（3）到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標是（0，0）和（2，2）．

【解析】

（1）根據拋物線經過原點求出k的值，即可求出解析式，在求頂點坐標即可；

（2）先找出P的位置，再求直線BC的解析式，再求點P的坐標即可；

（3）先求得y軸是∠APC的角平分線，x軸是∠DAP的角平分線，交點符合要求，∠DAP的外角∠EAP的平分線和∠CPA的外角∠FPA的平分線的交點M也符合要求.

解：（1）∵拋物線經過坐標原點，

∴k2+k＝0，

解得：k＝0（舍去），k＝﹣1，

∴拋物線的解析式是y＝﹣x2+2x，

∴y＝﹣x2+2x，

＝﹣（x﹣）2+3，

∴頂點B的坐標是（，3），

答：拋物線的解析式是y＝﹣x2+2x，頂點B的坐標是（，3）；

（2）當y＝0時﹣x2+2x＝0，

解得：x1＝0，x2＝2，

∴A的坐標是（2，0），

A關于y軸的對稱點C的坐標是C（﹣2，0），

設直線BC的解析式是y＝kx+b，

把B（，3），C（﹣2，0）代入得：，

解得：，

∴直線BC的解析式是y＝x+2，

當x＝0時，y＝2，

∴點P的坐標是（0，2），

答：點P的坐標是（0，2）．

（3）∵A、C關于y軸對稱，P在Y軸上，

∴AP＝CP，

∵∠CAP＝∠ACP，x軸⊥y軸，

∴y軸是∠APC的角平分線，

即y軸上任意一點到AP、CP的距離都相等，

∵AD∥PC，

∴∠DAC＝∠ACP，

∴∠DAC＝∠CAP，

∴x軸是∠DAP的角平分線，

即x軸上任意一點到AP、AD的距離都相等，

∴x軸與y軸的交點O到AP、AD、CP距離相等，

∴點的坐標是（0，0），

如圖，

∠DAP的外角∠EAP的平分線和∠CPA的外角∠FPA的平分線的交點M也符合要求，

根據作圖條件能得到矩形MAOP，

即點M的坐標是（2，2），

到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標是（0，0）和（2，2），

答：到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標是（0，0）和（2，2）．