Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.

（1）求證：AB=AC；

（2）若∠BAC=60°，BC=6，求△ABC的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得DE=DF，利用HL易證Rt△BDE≌Rt△CDF，從而得到∠B=∠C，然后再用AAS證明△ABD≌△ACD即可得證．

（2）由∠BAC=60°和AB=AC可得△ABC為等邊三角形，從而得到AB=BC=6，再由勾股定理求出高AD，即可求△ABC的面積．

（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF，∠BAD=∠CAD

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∵BD=CD，DE=DF

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

∴∠B=∠C

在△ABD和△ACD中，

∵∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD

∴△ABD≌△ACD（AAS）

∴AB=AC

（2）∵∠BAC=60°，AB=AC

∴△ABC為等邊三角形

∴AB=BC=6

又∵△ABD≌△ACD（已證）

∴∠ADB=∠ADC=90°

∵BC=6，BD=CD

∴BD=3

在Rt△ABD中，AD=

∴S△ABC=