Question

【題目】已知，A（0，8），B（4，0），直線y＝﹣x沿x軸作平移運動，平移時交OA于D，交OB于C．

（1）當直線y＝﹣x從點O出發以1單位長度/s的速度勻速沿x軸正方向平移，平移到達點B時結束運動，過點D作DE⊥y軸交AB于點E，連接CE，設運動時間為t（s）．

①是否存在t值，使得△CDE是以CD為腰的等腰三角形？如果能，請直接寫出相應的t值；如果不能，請說明理由．

②將△CDE沿DE翻折后得到△FDE，設△EDF與△ADE重疊部分的面積為y（單位長度的平方）．求y關于t的函數關系式及相應的t的取值范圍；

（2）若點M是AB的中點，將MC繞點M順時針旋轉90°得到MN，連接AN，請直接寫出AN+MN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①t＝2或t＝﹣4+8；②y=;(2) AN+MN的最小值

【解析】

（1）求出AB直線解析式，設出移動后的直線y＝﹣x+t，當CD＝CE時，當CD＝DE時分別求出t的值；

（2）0≤t≤2時，y＝S△EFD＝﹣t2+4t；當2＜t≤4時，DF所在直線解析式為y＝x+t，得到DF⊥AB，作GP⊥DE，FQ⊥DE，由，，；

（3）N的運動軌跡在x＝﹣2的線段上，當t＝0時AN+MN最小．N（﹣2，6），AN+MN最小值．

（1）設過A（0，8），B（4，0）兩點的直線解析式為y＝kx+b，

∴y＝﹣2x+8，

①直線y＝﹣x從點0出發以1單位長度/s的速度勻速沿x軸正方向平移，

此時函數解析式為y＝﹣x+t，

∴D（0，t），E（t，8﹣2t），C（t，0），

當CD＝CE時，

∴2t2＝（8﹣3t）2+t2，

∴t＝2或t＝4，

當CD＝DE時，

DE＝|8﹣2t|，CD＝t，

∴|8﹣2t|＝t，

∴t＝﹣4+8，或t＝8+4，

∵0≤t≤3，

∴t＝2或t＝﹣4+8；

②∵△CDE沿DE翻折后得到△FDE，

∴F（t，2t），

當F在直線AB上時，t＝2，

∴0≤t≤2時，

y＝S△EFD＝×（8﹣2t）t＝﹣t2+4t，

當2＜t≤4時，

DF所在直線解析式為y＝x+t，

∴DF⊥AB，

作GP⊥DE，FQ⊥DE，

∴FQ＝t，DQ＝t，GP＝2PE，DE＝8﹣2t，

∴，

∴，

；

（3）如圖3：過點M作ME⊥x軸，交x軸于E點；過點M作y軸垂線，過N做x軸垂線，相交于點F；過點M做AB直線的垂線，

∵∠NMC＝∠NMG+∠CMG＝90°，

∠GMB＝∠GMC+∠CMB＝90°，

∴∠NMG＝∠CMB，

∵FH∥x軸，

∴∠CBA＝∠HMB，

∵∠FMG＝∠KMH，∠KMH+∠HMB＝90°，∠BME+∠MBE＝90°，

∴∠BME＝∠KMH＝∠FMG，

∴∠CME＝∠NMF，

在Rt△NMF和Rt△CME中，MN＝MC，∠CME＝∠NMF，

∴Rt△NMF≌Rt△CME（AAS），

∴MF＝ME，

∵點M是AB的中點，

∴M（2，4），

∴ME＝MF＝4，

∴N在NF所在直線上運動，

∴N點橫坐標是﹣2，

如圖4：作A點關于直線x＝﹣2的對稱點A'，連接A'M與x＝﹣2交點為N，

此時AN+NM的值最小；

A'（﹣4，8），

∴A'M＝；

∴AN+MN的最小值 ；