Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一拋物線的對稱軸為直線，與y軸負半軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為（3，0），且OB＝OC．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.

（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側），在x軸上是否存在點Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P點的坐標為，的最大值為；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．

【解析】

試題（1）設拋物線的解析式為，根據已知得到C（0，﹣3），A（﹣1，0），代入得到方程組，求出方程組的解即可；

（2）過點P作y軸的平行線與AG交于點F，求出點G的坐標（2，﹣3），設直線AG為，代入得到，求出方程組的解得出直線AG為，設P（x，），則F（x，﹣x﹣1），PF，根據三角形的面積公式求出△APG的面積，化成頂點式即可；

（3）存在．根據MN∥x軸，且M、N在拋物線上，得到M、N關于直線x=1對稱，設點M為（m，）且m＞1，得到MN=2（m﹣1），當∠QMN=90°，且MN=MQ時，由△MNQ為等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出點M和點Q的坐標；當∠QNM=90°，且MN=NQ時，同理可求點Q的坐標，當∠NQM=90°，且MQ=NQ時，過Q作QE⊥MN于點E，則QE=MN，根據拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性，得到點Q的坐標．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為，

由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，

由，令x=2，則y=－3，∴點G為（2，－3），

設直線AG為，∴，解得：，即直線AG為，

設P（x，），則F（x，－x－1），PF．

∵，

∴當時，△APG的面積最大，此時P點的坐標為，

（3）存在．

∵MN∥x軸，且M、N在拋物線上，∴M、N關于直線x=1對稱，

設點M為（，）且，∴，

當∠QMN=90°，且MN=MQ時，△MNQ為等腰直角三角形，∴MQ⊥MN即MQ⊥x軸，

∴，即或，

解得，（舍）或，（舍），

∴點M為（，）或（，），∴點Q為（，0）或（，0），

當∠QNM=90°，且MN=NQ時，△MNQ為等腰直角三角形，同理可求點Q為（－，0）或（，0），

當∠NQM=90°，且MQ=NQ時，△MNQ為等腰直角三角形，

過Q作QE⊥MN于點E，則QE=MN，，

∵方程有解，∴由拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性知點Q為（1，0），

綜上所述，滿足存在滿足條件的點Q，分別為（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．