Question

【題目】已知四邊形為的內接四邊形，直徑與對角線相交于點，作于，與過點的直線相交于點，.

（1）求證：為的切線；

（2）若平分，求證：；

（3）在（2）的條件下，為的中點，連接，若，的半徑為，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角為90°，得到∠ADC=90°，根據直角三角形兩銳角互余得到∠DAC+∠DCA=90°，再根據同弧或等弧所對的圓周角相等，可得到∠FAD+∠DAC=90°，即可得出結論；

（2）連接OD．根據圓周角定理和角平分線定義可得∠DOA=∠DOC，即可得出結論；

（3）連接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．可求出AD=4，AF∥OM．根據三角形中位線定理得出OM=AF．證明△ODE≌△OCM，得到OE=OM．設OM=m，用m表示出OE，AE，AP，DP．通過證明△EAN∽△DPE，根據相似三角形對應邊成比例，求出m的值，從而求得AN，AE的值．在Rt△NAE中，由勾股定理即可得出結論．

（1）∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC+∠DCA=90°．

∵，

∴∠ABD=∠DCA．

∵∠FAD=∠ABD，

∴∠FAD=∠DCA，

∴∠FAD+∠DAC=90°，

∴CA⊥AF，

∴AF為⊙O的切線．

（2）連接OD．

∵，

∴∠ABD=∠AOD．

∵，

∴∠DBC=∠DOC．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠DOA=∠DOC，

∴DA=DC．

（3）連接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°．

∵DA=DC，

∴DO⊥AC，

∴∠FAC=∠DOC=90°，AD=DC==4，

∴∠DAC=∠DCA=45°，AF∥OM．

∵AO=OC，

∴OM=AF．

∵∠ODE+∠DEO=90°，∠OCM+∠DEO=90°，

∴∠ODE=∠OCM．

∵∠DOE=∠COM，OD=OC，

∴△ODE≌△OCM，

∴OE=OM．

設OM=m，

∴OE=m，，，

∴．

∵∠AED+∠AEN=135°，∠AED+∠ADE=135°，

∴∠AEN=∠ADE．

∵∠EAN=∠DPE，

∴△EAN∽△DPE，

∴，

∴，

∴，

∴，，

由勾股定理得：．