Question

【題目】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．動點Q從點O出發以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動秒時，動點P從點A出發以相等的速度沿AO向終點O運動．當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．

（1）求點B的坐標，并用含t的代數式表示OP，OQ；

（2）當t=1時，如圖1，將△OPQ沿PQ翻折，點O恰好落在CB邊上的點D處，求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，矩形對角線AC，BO交于M，取OM中點G，BM中點H，求證：當t=1時四邊形DGPH是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）B（6，3），OQ=+t， OP= 6﹣t；（2）D（1，3）；（3）證明見解析.

【解析】

試題（1）根據矩形的性質求出點B的坐標，根據動點問題求出OP和OQ的長度；（2）根據折疊圖形的性質求出OQ和DQ的長度，然后根據勾股定理求出CD的長度，得到點D的坐標；（3）根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形進行判定．

試題解析：（1）B（6,3）；OP="OA-AP=6-t," OQ=+t．

（2）當t=1時，OP=5，OQ=,則CQ=3-=，

由折疊可知：△OPQ≌△DPQ,

∴OQ=DQ=

由勾股定理,得：CD=1

∴D（1,3）

（3）∵四邊形OABC是矩形，

∴OA=BC,

又∵CD=AP=1，

∴BC-CD=OA-AP,即BD=OP,

∵OM=MB,G為OM中點，H為BM中點 ,

∴OG="BH,"

∵OA∥BC

∴∠1=∠2

在△POG和△DBH中，OG=BH，∠1=∠2，OP=DB

∴△POG≌△DBH

∴∠OGP=∠BHD，PG=DH

∴∠MGP=∠DHM

∴PG∥DH

又∵PG=DH

∴四邊形DGPH是平行四邊形．