Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點O是對角線BD的中點，過點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F．

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）當DE＝DF時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由矩形的性質得到AB∥CD，再根據平行線的性質得到∠DFO=∠BEO再證明△DOF≌△BOE，根據全等三角形的性質得到DF=BE，從而得到四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）先證明四邊形BEDF是菱形，再得到DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，設AE=x，則DE=BE=8-x根據勾股定理求解即可．

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠DFO＝∠BEO．

在△DOF和△BOE中

，

∴△DOF≌△BOE(AAS)．

∴DF＝BE．

又∵DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．

(2)解：∵DE＝DF，四邊形BEDF是平行四邊形，

∴四邊形BEDF是菱形．

∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF．

設AE＝x，則DE＝BE＝8－x，

在Rt△ADE中，根據勾股定理，有AE2＋AD2＝DE2，

∴x2＋62＝(8－x)2．解得x＝．

∴DE＝8－＝．

在Rt△ABD中，根據勾股定理，有AB2＋AD2＝BD2，

∴BD＝＝10．

∴OD＝BD＝5．

在Rt△DOE中，根據勾股定理，有DE2－OD2＝OE2，

∴OE＝＝．

∴EF＝2OE＝．