Question

【題目】如圖，拋物線經過，兩點，與y軸交于點C，連接AB，AC，BC．

求拋物線的表達式；

求證：AB平分；

拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得是以AB為直角邊的直角三角形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】拋物線的解析式為；證明見解析；點M的坐標為或．

【解析】

將，代入拋物線的解析式得到關于a、b的方程組，從而可求得a、b的值；

先求得AC的長，然后取，則，連接BD，接下來，證明，然后依據SSS可證明≌，接下來，依據全等三角形的性質可得到；

作拋物線的對稱軸交x軸與點E，交BC與點F，作點A作，作，分別交拋物線的對稱軸與、M，依據點A和點B的坐標可得到，從而可得到或，從而可得到FM和的長，故此可得到點和點M的坐標．

將，代入得：，

解得：，，

拋物線的解析式為；

，，

，

取，則，

由兩點間的距離公式可知，

，，

，

，

在和中，，，，

≌，

，

平分；

如圖所示：拋物線的對稱軸交x軸與點E，交BC與點F．

拋物線的對稱軸為，則．

，，

，

，

，

，

，

同理：，

又，

，

，

點M的坐標為或．