Question

【題目】小明在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．

求函數y=﹣x2+3x﹣2的“旋轉函數”．

小明是這樣思考的：由函數y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根據a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數的“旋轉函數”．

請參考小明的方法解決下面問題：

（1）寫出函數y=﹣x2+3x﹣2的“旋轉函數”；

（2）若函數y=﹣x2+mx﹣2與y=x2﹣2nx+n互為“旋轉函數”，求（m+n）2015的值；

（3）已知函數y=﹣（x+1）（x﹣4）的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分布是A1，B1，C1，試證明經過點A1，B1，C1的二次函數與函數y=﹣（x+1）（x﹣4）互為“旋轉函數．”

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3x+2；（2）-1；（3）見解析

【解析】

試題（1）根據“旋轉函數”的定義求出a2，b2，c2，從而得到原函數的“旋轉函數”；

（2）根據“旋轉函數”的定義得到m=﹣2n，﹣2+n=0，再解方程組求出m和n的值，然后根據乘方的意義計算；

（3）先根據拋物線與坐標軸的交點問題確定A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），再利用關于原點對稱的點的坐標特征得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），則可利用交點式求出經過點A1，B1，C1的二次函數解析式為y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，再把y=﹣（x+1）（x﹣4）化為一般式，然后根據“旋轉函數”的定義進行判斷．

試題解析：（1）解：∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，

∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，

∴a2=11，b2=3，c2=2，

∴函數y=﹣x2+3x﹣2的“旋轉函數”為y=x2+3x+2；

（2）解：根據題意得m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，

∴（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1；

（3）證明：當x=0時，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，則C（0，2），

當y=0時，﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4，則A（﹣1，0），B（4，0），

∵點A、B、C關于原點的對稱點分布是A1，B1，C1，

∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），

設經過點A1，B1，C1的二次函數解析式為y=a2（x﹣1）（x+4），把C1（0，﹣2）代入得a2（﹣1）4=﹣2，解得a2=，

∴經過點A1，B1，C1的二次函數解析式為y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，

而y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，

∴a1+a2=﹣+=0，b1=b2=，c1+c2=2﹣2=0，

∴經過點A1，B1，C1的二次函數與數y=﹣（x+1）（x﹣4）互為“旋轉函數．